Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir hatten zur Abrundung sozusagen zur allgemeinen Vektoraumtheorie uns mit dem Begriff des

affinen Raumes beschäftigt, um die geometrische Vorstellung, wir haben Punkte, wir haben Vektoren,

die als Verbindungsvektoren zwischen Punkten agieren, besser fassen zu können. Vektoren sind

einfach Elemente eines Vektoraums in aller Allgemeinheit, wie wir das bisher gesehen haben,

und Punkte sind eine Zusatzstruktur, die hinzukommen und wo wir gewisse Rechenregeln für die Addition

von Punkten und Vektoren haben. Vektoren plus Vektoren kennen wir eh schon und Punkte plus

Punkte, das macht keinen Sinn. Und wir haben gesehen, die Begrifflichkeiten der linearen Welt,

der linearen Vektorräume übertragen sich jetzt auf die affinen Räume fastwörtlich, überall,

wo es einen linearen Begriff gibt, gibt es auch einen affinen Begriff. Ich will das jetzt noch

einmal verdeutlichen an diesem Satz hier, der sagt, wir wissen ja, wir haben also eine Menge,

im linearen würden wir sagen, eine Menge, die ist aufgespannt von einer, ein Vektoraum,

der ist aufgespannt von einer gewissen Menge von Vektoren, das wäre in dieser Notation b hier,

wir wissen auch und dann wissen wir, wir können genau dann die Vektoren nicht nur darstellen,

linear darstellen, sondern eindeutig darstellen, wenn unser erzeugenden System auch linear

unabhängig ist. Und jetzt übertragen wir das alles, indem wir überall linear durch affin

ersetzen, das heißt, dass wir einmal einen affinen Grundraum zu einem Vektorraum V,

wir haben eine gewisse Menge von Punkten a0 bis am, den davon affin aufgespannten Raum b und

genau dann haben wir wieder die analoge Äquivalenz, nämlich auf der einen Seite die

affine Unabhängigkeit, dieser m plus 1 Punkt, a0 bis am und die Tatsache, dass jedes Element aus a,

was sich natürlich per Definition als affin Kombination darstellen lässt, sich auch nur in

einer eindeutigen Weise als affin Kombination darstellen. Das ist also wiederum das Prinzip des

Koeffizientenvergleichs, das heißt also, wenn ich in der Situation bin, einer affin unabhängigen

Menge als darstellende Menge dann und zwei verschiedene Darstellungen haben, da müssen

die Darstellungen gleich sein, das heißt, die Koeffizienten müssen sich jeweils entsprechen.

Schauen wir uns dazu den Beweis mal kurz an, das ist also eine Äquivalenz Aussage, wir müssen also

beide Richtungen zeigen. Okay, machen wir mal die Richtung von links nach rechts, also wir müssen

zeigen, dass wenn die Punktemenge a0 bis am affin unabhängig sind, dann haben wir eine eindeutige,

immer eine eindeutige Darstellbarkeit. Wir machen das mit einem Widerspruchsbeweis und gehen da mal

davon aus, dass wir einen Punkt a aus b haben, der hat dann natürlich eine Darstellung a gleich t0

a0 und so weiter plus tm am als affin Kombination dieser m plus eins Punkte, also die Summe der ti

ist gleich eins und wir nehmen mal an, es gäbe eine weitere Darstellung. Eine verschiedene,

von dieser Darstellung verschiedene Darstellungen und diese Annahme müssen wir dann zum Widerspruch

führen. Wir nehmen also an, wir können das a noch mal darstellen als sagen wir mal s0 a0 plus und

so weiter sm am wieder affin, Summe der si gleich eins, sodass das zwei verschiedene Darstellungen

sind, das heißt an irgendeiner Stelle unterscheiden sich die t's von den s-Koeffizienten und wir nehmen

mal an, wir können ja beliebig umordnen ob da ist das an der nulsten Stelle, das heißt also wir gehen

mal davon aus, dass t0 ungleich s0 ist. So, okay, jetzt habe ich hier, jetzt kann ich folgende Bildung

machen, ich kann t0 minus s0 mal a0 und so weiter plus tm minus sm mal am bilden. Was kommt da raus?

Erstmal ohne dass wir hinschreiben was rauskommt, was kommt raus? Ist das ein Vektor oder ist das

eine Zahl? Ist das die affinen Kombination von Punkten, die, entschuldigung nicht Zahl, ich meine

Punkt ist das die affinen Kombination von Punkten, die wiederum einen Punkt ergibt oder ist das eine

andere Konstruktion, die jetzt da steht? Das ist ein Vektor, das ist eine Vektorkombination, wenn

man sich die Koeffizienten anschauen und die aufaddieren, dann wird zweimal die Summe eins,

die voneinander abgezogen wird, also die Summe der Koeffizienten ist Null, das ist ein Vektor und

zwar, jetzt müsste man in die Definition noch mal einsteigen, das ist gerade der Vektor Null,

weil wir beides mal, wir haben sozusagen zwei Darstellungen von a voneinander abgezogen haben.

Okay, das wiederum bedeutet und diese Zahl hier, die ist auf jeden Fall ungleich Null,

so hatten wir vorausgesetzt und Vektorkombination bedeutet jetzt wiederum, dass wir daraus eine

Affinkombination machen können, nämlich für das a Null, formal bedeutet das einfach hier diese